sopr1

ВВЕДЕНИЕ


"Сопротивление материалов" - одна из важных общетехнических дисциплин, которые формируют мышление инженера, и имеет большое значение для подготовки квалифицированных специалистов технических специальностей. Сопротивление материалов является одним из наиболее тяжелых курсов, которые требуют глубокого и систематического изучения теории и прохождения практикума.

Начало науки о сопротивлении материалов связывают с именем знаменитого физика, математика и астронома Галилео Галилея, который в работе, опубликованной в 1638 г., дал решение некоторых важных задач динамики и сопротивления материалов.

В 1660 г. Р. Гук сформулировал закон, устанавливающий связь между нагрузкой и деформацией и имеющий исключительно важное значение для сопротивления материалов.

Сопротивление материалов наряду с теорией упругости, теорией пластичности и теорией сооружений является разделом строительной механики.

В отличие от теоретической механики, в которой все тела рассматриваются как абсолютно твердые, в сопротивлении материалов учитывается, что элементы конструкции при действии внешних сил изменяют свою форму и размеры, т.е. деформируются.

При проектировании различных конструкций (сооружений, машин, приборов и др.) необходимо проводить расчеты на прочность. Неправильный расчет самой, на первый взгляд незначительной детали может повлечь за собой очень тяжелые последствия, привести к разрушению всей конструкции.

Кроме расчетов на прочность во многих случаях проектирования производят расчеты на жесткость и устойчивость.

Целью расчетов на жесткость является определение таких размеров элементов конструкций, при которых перемещения (деформации) не превышают заданных величин, допустимых по условиям нормальной эксплуатации.

При проведении расчетов необходимо сочетать надежность работы сооружения с его экономичностью, получать необходимые прочность, жесткость и устойчивость при наименьшем расходе материалов.

Сопротивление материалов является экспериментально-теоретической наукой, так как она широко использует опытные данные и теоретические исследования.

Данный конспект лекций дает представление лишь об основных вопросах, на которые необходимо обратить внимание при изучении дисциплины "Сопротивление материалов". Для полного усвоения материала студенту также необходима работа с учебником, задачником, справочником и другой вспомогательной литературой [1, 2, 3].

Тема 1:   ОСНОВНЫЕ  ПОНЯТИЯ


Вопросы

1.1        Понятия прочности, жесткости и устойчивости.

1.2        Основные гипотезы и допущения.

1.3        Силы внешние и внутренние.

1.4        Связь между напряжениями и внутренними усилиями.

1.5        Деформации и перемещения.



1.1        Понятия прочности, жесткости и устойчивости


       Сопротивление материалов наука, занимающаяся изучением и созданием методов расчета деталей (элементов) на прочность, жесткость и устойчивость.

       Прочность - способность деталей машин (элемента конструкции) выполнять свое функциональное назначение при расчетных нагрузках без остаточных деформаций и разрушений. Остаточные деформации - это деформации, которые остаются после снятия нагрузки.

       Устойчивость - способность материала конструкции сохранять первоначальную форму равновесия при расчетных нагрузках.

       Жесткость - способность конструкции сохранять относительные размеры в пределах, оговоренных техническими условиями.


       В сопротивлении материалов рассматриваются 3 вида элементов:

1)        брус, стержень, балка - элементы конструкции,  у которых один размер значительно превышает два других размера (длина значительно превышает толщину и ширину);

2)        пластина, оболочка - элементы конструкции, у которых два размера одного порядка и значительно превышают третий размер;

  1. массив - элемент, у которого все три размера одного порядка.

Наиболее часто в сопротивлении материалов приходится рассчитывать линейные элементы (брус, стержень, балка, вал).

       Для расчетов в сопротивлении материалов используют расчетные схемы, при построении которых пользуются рядом упрощений и допущений: элементы конструкций в расчетных схемах изображают в виде их основной характеристики (ось, серединная поверхность и т.п.); силы веса показывают в виде распределенной нагрузки и др.



1.2 Основные гипотезы и допущения


I        В отношении материала

       Материал

- сплошной;

- однородный, во всех точках его механические свойства одинаковы;

- изотропный, т. е. во всех направлениях его механические свойства одинаковы;

- упругий;

- подчиняется закону Гука, т. е. величина абсолютных деформаций пропорциональна величине приложенной силы.


II        В отношении конструкции

  1. расстояние между отдельными узлами конструкции и отдельными ее точками, а также расстояние от узлов конструкции до приложенных сил в процессе нагружения не меняются;
  2. сечения, плоские до приложения нагрузки, остаются плоскими и в процессе приложения нагрузки (гипотеза Сен-Венана);
  3. элементы конструкции изображаются в виде осевых линий.



III        В отношении сил

1)        размеры площадки, через которую передается сосредоточенная сила, считается малой по сравнению с размерами элемента конструкции или детали.



1.3 Силы внешние и внутренние


Внешние силы (нагрузки) - силы, действующие на конструкцию со стороны других тел.

       Различают следующие виды нагрузок:

  1. Поверхностные или объёмные.

Поверхностные нагрузки, которые передаются по поверхности вследствие контакта с другими телами, объёмные распределены по всему объёму тела (силы веса, силы инерции).

  1. По длительности воздействия: постоянные, временные.

Постоянные - нагрузки, действующие непрерывно в течение всего срока эксплуатации конструкции.

Временные - нагрузки, действующие в течение определенного отрезка времени.

  1. По характеру воздействия: статические и динамические.

Статические - нагрузки, при приложении которых можно пренебречь возникающими в конструкции силами инерции;

Динамические - нагрузки, при действии которых силы инерции значительны и ими нельзя пренебречь (ударные нагрузки).

  1. По площади воздействия: сосредоточенные и распределенные.

Сосредоточенными (сила, момент) называются нагрузки, приложенные на площадках поверхности, значительно меньших, чем поверхность конструкции или детали.


Нагрузки, приложенные к участкам больших размеров, называются распределенными.

В число внешних сил входят заданные активные силы и реакции связей.

Внутренние силы - силы взаимодействия, возникающие между частицами материала в результате действия внешних нагрузок.

Внутренние усилия определяют помощью метода сечений.


Метод сечений включает следующие операции:

  1. мысленно рассекаем деталь (тело) плоскостью в интересующем нас сечении (рис. 1.1);
  2. отбрасываем одну часть тела (любую);
  3. заменяем действие отброшенной части на оставшуюся неизвестными внутренними усилиями (главным вектором и главным моментом);
  4. составляем для оставшейся части уравнения равновесия, с помощью которых находим неизвестные внутренние усилия.


       Определение внутренних сил (усилий) обычно производят для сечений, перпендикулярных продольной оси рассматриваемого тела, т.е. для поперечных сечений.

       Проведем через центр тяжести сечения оси x, y, z. Рассмотрим внутренние усилия, возникающие в поперечном сечении бруса (рис. 1.1).

- главный вектор системы внутренних усилий;

- главный момент системы внутренних усилий.

       Главный вектор раскладывается на три составляющие силы, которые обозначаются:

Rz = N        - продольную силу, действующую вдоль оси бруса;

Rzy - поперечная сила, действующая в плоскости поперечного сечения.

Ry = Qy и Rx = Qx        - поперечные силы, действующие в плоскости поперечного сечения;


Рис. 1.1 - Метод сечений


       Главный момент раскладывается на три составляющих:

Mz = Mкр        - крутящий момент, действующий в плоскости поперечного сечения;

Mx = Mиз и My = Mиз        - изгибающие моменты, действующие в плоскости, перпендикулярной плоскости поперечного сечения.

Каждому внутреннему усилию соответствует определенный вид деформации:

N                - растяжение-сжатие,

Qx, Qy        - сдвиг (срез),

Мкр                - кручение,

Мx, My        - изгиб.

       Простой называется деформация, при которой в условие прочности входит только одно внутреннее усилие.

       Различают простые деформации:

       Растяжение-сжатие - такой вид простой деформации, при котором в поперечном сечении возникает только продольная сила N, а остальные внутренние усилия равны нулю.

       Сдвиг деформация, при которой в поперечном сечении возникают только поперечные силы.

       Кручение - простая деформация, при которой в поперечном сечении возникает только крутящий момент Мкр, остальные внутренние усилия равны нулю.

       Чистый изгиб - простая деформация, при которой в поперечном сечении возникает только изгибающие моменты (один или оба) (Mx и My), остальные внутренние усилия равны нулю.

       Изгиб называется поперечным, если кроме изгибающих моментов в поперечном сечении действуют поперечные силы.


       Рассмотрим элемент конструкции, на который действует система внешних сил, находящихся в равновесии (рис. 1.2).

Рис. 1.2 - Элемент конструкции, находящийся в равновесии под действием внешних сил


       В сопротивлении материалов прочностные характеристики материала характеризуют не силой, а напряжением.

Полное напряжение в точке определяется из соотношения

,

- полное напряжение, Па, кПа, МПа;

элементарная сила [кН], действующая в элементарной площадке поперечного сечения dFi, [м2].

       Разложим вектор полного напряжения на две составляющие (рис. 1.3): нормальное напряжение σi, направленное перпендикулярно рассматриваемому сечению, и касательное напряжение τi, расположенное в плоскости рассматриваемого сечения.

Рис. 1.3 - Напряжения в элементарной площадке dFi (в точке)


Общее условие прочности материала в сечении:


σmax Ј [σ];                                        (1.2)

τmax Ј [τ],                                        (1.3)


σmax - максимальное расcчетное нормальное напряжение в сечении, МПа;

τmax - максимальное расcчетное касательное напряжение в сечении, МПа;

[σ], [τ] - допускаемые нормальное и касательное напряжения для данного материала, МПа.


1.4 Связь между напряжениями и внутренними усилиями


       Рассмотрим элементарную площадку dF поперечного сечения F бруса с действующими по этой площадке нормальным σ и касательным τ напряжениями (рис. 1.4). Разложим напряжения τ на составляющие τx и τy, параллельные соответственно осям x, y. На площадку dF действуют элементарные силы dN, dQx, dQy, параллельные соответственно осям z, x, y. Элементарные силы создают относительно осей x, y, z элементарные моменты dMx, dMy, dMz.

Рис. 1.4 - Связь между напряжениями и внутренними усилиями

       Выразим элементарные силы и элементарные моменты через напряжения, а затем их просуммируем (проинтегрируем):

       - полное напряжение


Элементарные внутренние                        Суммарные внутренние

усилия в произвольной точке                        усилия в сечении:

сечения:


       ;                                

;                                

;                                

;                

;                                

;                                

1.5 Деформации и перемещения

       Деформация - это изменение формы или размеров тела под действием нагрузок (рис. 1.5).

       Деформации можно разделить на два вида: линейные и угловые.

Линейные деформации это изменение (удлинение или укорочение) линейных размеров детали или элемента, вызванное нормальными напряжениями.

       Угловые деформации это искажения прямых углов, связанные со сдвигом (вызываются касательными напряжениями).

       На рис. 1.5 показаны деформации и перемещения элемента тела:

А, В, С положение точек до приложения нагрузки;

АІ, ВІ, СІ положение точек после приложения нагрузки;

Δdx, Δdy        - абсолютные линейные деформации материала в точке
по осям X и Y соответственно.

       Отношение абсолютной деформации к первоначальной длине представляет собой относительную линейную деформацию εx, εy.


;                        ,                                (1.4)

εx, εy        - относительные линейные деформации материала в точке по осям X и Y.

Рис. 1.5 - Деформации и перемещения

γ        - угловая деформация в точке (рад).

       Перемещение это расстояние между одноименными точками до и после деформации.

Расстояние АА' - линейное перемещение точки А в результате деформации.

Расстояние ВВ' линейное перемещение точки В в результате деформации.

Расстояние СС' линейное перемещение точки С в результате деформации.


Тема 2:  Растяжение-сжатие


Вопросы

2.1        Продольная сила.

2.2        Напряжения в поперечных и наклонных сечениях.

2.3        Деформации.

2.4        Перемещения сечений.

2.5        Диаграммы растяжения. Диаграммы напряжений.

2.1        Продольная сила

       Центральным растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила N.

       Правило знаков для продольной силы: если продольная сила N направлена от сечения (растяжение), то она положительна, если к сечению (сжатие) -  то отрицательна.

       Продольная сила определяется с помощью метода сечений (рис. 2.1).

Рис. 2.1 - Применение метода сечений

ΣZ = - P1 - NI-I,

NI-I = - P1 = - 12 кН (сжатие, т.е. продольная сила направлена в противоположную сторону).


Эпюрой внутренних усилий называется график, характеризующий изменение внутренних усилий по длине элемента конструкции.

Для построения эпюр внутренних усилий необходимо:

1) разбить брус на участки, границами которых являются:

2) в пределах каждого участка на произвольном расстоянии Zi , используя метод сечений, определяют внутренние усилия в функции от координаты Z;

3) используя полученные зависимости, строят эпюру.


Пример: Для заданного стержня построить эпюры внутренних усилий с учетом собственного веса и заданной расчетной нагрузки (рис. 2.2):

Р1 = 5 кН, Р2 = 4 кН, γ = 78 кН/м3, а = 2 м, b = 2,5 м, F1 = 20 см2, F2 = 40 см2.


Решение


       Для заданного стержня разрабатываем расчетную схему, представляя конструкцию осевыми линиями, указывая сосредоточенные силы и заменяя собственный вес линейно распределенной нагрузкой (рис. 2.2).


Рис. 2.2 - Построение эпюры продольных сил

       Определим величину интенсивности распределения веса q для каждого участка.

q - интенсивность распределения веса

q = γ F·1 пог. м = γ·F;

q1 = γ F1 = 78·20·10-4 = 0,156 кН/м;

q2 = γ F2 = 78·40·10-4 = 0,312 кН/м.

       Разбиваем стержень на участки и, пользуясь методом сечений, определим величину продольной силы в функции от z и строим эпюру.

I участок: 0 Ј Z1 Ј 2 м


ΣZ = -P1 + N1 + q1Z1 = 0;

N1 = P1 - q1Z1;

При Z1 = 0                N1 = P1 = 5кН;

При Z1 = 2м        N1 = P1 - q12 = 5-0,1562 = 4,688 кН.


II участок: 2 Ј Z2 Ј4 ,5 м


ΣZ = -P1 + N2 + q12+2P2+q2(Z2 - 2) = 0;

N2 = P1 - 2q1 - 2P- q2(Z2 - 2).

При Z2 = 2 м        N2 = P1 - 2q1 - 2P2 =

= 5-8-0,1562 = -3,312 кН.

При Z2 = 4,5м        N2 = P1 - 2q1 - 2P- q2(Z2 - 2) = 5-8-20,156-0,312(4,5-2) = -4,092 кН.




       Зная значение продольной силы для каждого участка, построим эпюру.


Правила проверки эпюры N

1) скачки возникают в сечениях, в которых приложены внешние сосредоточенные силы;

2) Величина скачка равна величине внешней силы, приложенной в этом сечении.

2.2 Напряжения в поперечных и наклонных сечениях

       Продольная сила N , возникающая в поперечном сечении (рис. 2.3) бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределенных по площади поперечного сечения. Продольная сила связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью:

=σ=σF;

σ = N/F

.                                  (2.1)


       Равномерно распределенные нормальные напряжения σ, возникающие в поперечном сечении бруса при центральном растяжении-сжатии, равны отношению продольной силы к площади поперечного сечения.

Рис. 2.3 - Напряжения в поперечном сечении бруса

       Рассмотрим напряжения в наклонных сечениях бруса (рис. 2.4).

Рис. 2.4 - Напряжения в наклонных сечениях бруса:


α - угол между наклонным и поперечным сечениями;

P - внешняя сила, действующая на брус;

pα - напряжения в точках наклонного сечения;

Nα - внутренняя продольная сила наклонного сечения;

Fα - площадь наклонного сечения.

       Выведем формулы для определения напряжений в произвольных наклонных площадках.

F = bh; Fα = bh /cosα = F /cosα;

Nα=P;

рα = Nα /Fα = Pcosα /F = σ cosα;

τα = рα sinα;

τα = τ cosα sinα = 1/2 σ sin2α;

σα = рα cosα;

σα = σ cosα cosα = σ cos2α;


σα = σ cos2α

τα = 1/2 σ sin2α;

(2.2)


при со=1                σмах = σ = N/F;

при sin2α=1; α=45˚                τмах = σ /2 = N /2F.

       Таким образом, при растяжении-сжатии наибольшие (по абсолютной величине) нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях бруса. Поэтому расчет на прочность растянутого или сжатого бруса производится по нормальным напряжениям в поперечных сечениях.


σмах = N /F Ј [σ]

;                              (2.3)

условие прочности при растяжении-сжатии


Правила знаков для нормальных напряжений

       Т.к. продольная сила N следствие действия нормальных напряжений σ в поперечных сечениях, то нормальные напряжения будут положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.

2.3 Деформации

       Рассмотрим прямой брус постоянного сечения длиной l, жестко закрепленный с одной стороны и нагруженный растягивающей силой Р с другой стороны (рис. 2.5). Под действием силы Р брус удлиняется на величину Δl (Δl - абсолютная продольная деформация).

Δl = l1-l0 , м:

l0 длина бруса до приложения нагрузки, м;

l1 длина бруса после приложения нагрузки, м.

Рис. 2.5 - Деформации при растяжении бруса

Относительную продольную деформацию ε можно определить по формуле:

ε = Δl/l0.

Закон Гука: Относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению.

ε = σ/Е

,                                          (2.4)

       где Е модуль продольной упругости (справочная величина).

Абсолютные продольные деформации определяем, используя закон Гука.

ε = Δl/l0;                        σ = N/F;

Δl/l0 = N/EF ;


Δl = Nl0/EF

.                                      (2.5)


       Кроме продольной деформации, при действии на брус сжимающей или растягивающей силы наблюдается также поперечная деформация. При сжатии бруса поперечные размеры его увеличиваются, а при растяжении - уменьшаются.

Δd - абсолютная поперечная деформация круглого бруса при растяжении-сжатии:

Δd =(d1-d)/2

где        d поперечный размер бруса до приложения нагрузки;

d1 поперечный размер бруса после приложения нагрузки.

Относительная поперечная деформация:

εпоп = Δd/d.

       Относительные поперечные деформации пропорциональны относительным продольным деформациям:

εпоп = -με,

μ (коэффициент Пуассона):

μ        - коэффициент Пуассона (коэффициент поперечной деформации), (упругая постоянная материала):

μ = 0,24-0,36 (0,4)        - для стали

μ = 0,5                - для резины

поп/ε| = μ.

       Правило знаков: Деформацию удлинения считают положительной, а деформацию сжатия отрицательной.

2.4 Перемещения сечений

Перемещение любого сечения стержня равно алгебраической сумме абсолютных деформаций всех участков, расположенных между этим и неподвижным сечением (рис. 2.6).

Абсолютные продольные деформации определяются из закона Гука


Δl = Nl/EF,


где        N продольная сила;

l длина участка;

F площадь поперечного сечения бруса;

EF жесткость стержня при растяжении-сжатии.

Пример:

Рис. 2.6 - Определение перемещений сечений бруса

       Определим абсолютные деформации участков:

Δl1 = N1 l1 /EF ,

Δl2 = N2 l2 /EF ,

где продольную силу определим, как:

N1=-P1 ,

N2=-P1+P2 .

Таким образом, перемещения сечений стержня в точках А, В, С равны:

ΔlC = 0 ;

ΔlB = Δl2 ;

ΔlA = Δl2+Δl1 .

2.5 Диаграммы растяжения. Диаграммы напряжений

       Для расчета на прочность необходимо знать механические свойства материалов. Эти свойства делятся на 2 группы:

  1. прочностные показывают, какие предельные нагрузки может выдержать материал;
  2. деформационные показывают, какие деформации может выдержать материал.

Механические свойства материалов определяются экспериментально, путем нагружения образца стандартного размера (рис. 2.7) на испытательных машинах.

Рис. 2.7 - Образец, испытуемый на растяжение


Одним из основных видов испытаний является растяжение образцов до разрушения. По результатам испытаний строят диаграммы растяжения. Вид диаграмм зависит от свойств материалов. Наиболее характерной является диаграмма растяжения малоуглеродистой стали (рис. 2.8).

Рис. 2.8 - Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали



Элементарная работа, совершаемая силой Pi на перемещении dΔli равна dAi= i = PidΔli ,

где i элементарная площадь криволинейной трапеции.

Площадь диаграммы растяжений:

ω = A = i.

Найдя отношение нагрузки к площади поперечного сечения образца, вычислим напряжения, соответствующие характерным точкам диаграммы растяжения. Относительные линейные деформации ε определим, разделив абсолютные деформации на первоначальную длину образца.

σ = P /F0                ε = Δl /l0;

σ = PB /F0                ε = ΔlB /l0.

       Построим диаграмму напряжений (рис. 2.9), учитывая зависимость напряжений в образце от относительных линейных деформаций (рис. 2.9).

Рис. 2.9 - Диаграмма напряжений малоуглеродистой стали



Характерные точки и участки диаграммы

Участок ОА         представляет собой прямую линию.

т. А - точка соответствует пределу пропорциональности σпц. На участке ОА относительные линейные деформации ε прямо пропорциональны нормальным напряжениям σ (выполняется закон Гука).

Участок АВ         криволинейный участок;

т. В - точка соответствует пределу упругости σу. До точки В в испытуемом образце возникают только упругие деформации.

       Деформации делят на упругие εуп и пластические (остаточные) εост. Деформации считаются упругими, когда после снятия нагрузки полностью восстанавливаются размеры образца, пластические деформации остаются после снятия нагрузки. До т.В возникают только упругие деформации, после т.В упругие и пластические. Полная деформация ε равна сумме упругих и остаточных деформаций

ε=εуп+εост .

Материалы, у которых остаточные деформации значительно превышают упругие деформации, называются пластичными. К пластичным материалам относятся стали, медь, латунь и др.

       Участок ССІ - площадка текучести. Точки С и СІ соответствуют пределу текучести σт. На этом участке наблюдается рост деформаций при постоянном значении нагрузки. Текучесть наблюдается только у пластичных материалов. Текучесть рост деформаций при постоянном значении приложенной силы за счет сдвигов в кристаллической решетке.

Участок СІD        - зона упрочнения.

т. D точка соответствует пределу прочности σпч (его еще называют временным сопротивлением σВ). Предел прочности это максимальное напряжение, выдерживаемое образцом.

Участок DE - зона разупрочнения. На образце появляется местное сужения «шейка». Точка Е точка разрыва.

       Полученная диаграмма построена сплошной линией и называется условной диаграммой напряжений, т.к. не учитывает изменение площади поперечного сечения образца при растяжении. Истинная диаграмма напряжений показана пунктирной линией.

Диаграмма растяжения-сжатия хрупких материалов

       При испытании на растяжение-сжатие чугунного образца получим зависимости, показанные на рис. 2.10. Так как остаточные относительные деформации примерно равны упругим деформациям (εост εупр), то чугун относят к хрупким материалам.

Рис. 2.10 - Диаграмма растяжения-сжатия хрупких материалов (чугуна)

Диаграмма растяжения чугуна (ІІ) по форме аналогична диаграмме сжатия (І), но предел прочности σпчрвр) при растяжении значительно ниже, чем предел прочности σпчсжвс) при сжатии (рис. 2.10). Т.е. чугун значительно хуже сопротивляется на растяжение, чем на сжатие. При сжатии чугунный образец разрушается в результате образования наклонных трещин, направленных примерно под углом 45˚ к оси образца, т.е. параллельно площадкам с максимальными касательными напряжениями.

       Разрушение для хрупких материалов происходит без появления значительных пластических деформаций.

Условие прочности в общем виде:

,                .

       Допускаемое напряжение [σ] отношение величины опасного напряжения σопасное  к коэффициенту запаса прочности n:


,                .


Коэффициент запаса прочности принимают:

При растяжении-сжатии опасным напряжением является:

[σ] = σТ /n,


[σ]сж = σпчсж/n,

[σ]раст = σпчраст/n.


Тема 3:   Теория напряженного состояния


Вопросы

    1. Виды напряженного состояния.
    2. Плоское напряженное состояние. Закон парности касательных напряжений.
    3. Исследование плоского напряженного состояния с помощью круга Мора.
    4. Объемное напряженное состояние.
    5. Обобщенный закон Гука.



3.1        Виды напряженного состояния

Напряженное состояние материала в точке это совокупность напряжений (нормальных и касательных), действующих по всем площадкам, которые можно провести через данную точку.

       Различают три вида напряженного состояния:

  1. объемное (общий случай) - напряженное состояние, при котором в окрестности данной точки не существует ни одной площадки, свободной от напряжений;
  2. плоское частный случай напряженного состояния, при котором в окрестности данной точки существует только одна площадка, свободная от напряжений;
  3. одноосное частный случай напряженного состояния, при котором в окрестности данной точки существует две взаимно перпендикулярные площадки, свободные от напряжений (характерно для деформации растяжения-сжатия).

В окрестности любой точки тела всегда можно выделить элементарный параллелепипед. Длины ребер элементарного параллелепипеда бесконечно малы, поэтому напряжения по его граням, параллельным друг другу, одинаковы и равны напряжениям по параллельной им площадке, проходящей через рассматриваемую точку. Величины нормальных и касательных напряжений по произвольной площадке, проходящей через любую точку тела, зависят от положения этой площадки.








Правило знаков для напряжений (рис. 3.1):

Рис. 3.1 - Знаки напряжений:


σx > 0 - растяжение;

σy < 0 - сжатие;

τx > 0, если вектор касательного напряжения стремиться поворачивать элемент тела по часовой стрелке;

τy < 0, если вектор касательного напряжения стремиться поворачивать элемент тела против часовой стрелки.


    1. Плоское напряженное состояние. Закон парности касательных напряжений


При плоском напряженном состоянии по одной из площадок, проходящих через рассматриваемую точку, касательные и нормальные напряжения равны нулю. Совместим эту площадку с плоскостью чертежа и выделим из тела в окрестности этой точки малую (элементарную) треугольную призму (рис. 3.2).

Приложим к выделенной призме те же напряжения, которые действовали на неё до выделения её из тела. Так как все размеры выделенной призмы бесконечно малы, касательные и нормальные напряжения по её боковым граням можно считать распределенными равномерно и равными напряжениям по площадкам, проходящим через рассматриваемую точку параллельно её граням.

Допустим, что напряжения, действующие по граням призмы, - положительны. Покажем их на схеме (рис. 3.2).


Рис. 3.2 - Исследование плоского напряженного состояния

       Определим элементарные силы, действующие по граням треугольной призмы:

dNy = σydx1dz;                dTx = τxdx1dz;


dNx = σxdy1dz;                dTy = τydy1dz;


dNα = σαdsdz;                dTα = ταdsdz.


Спроектируем элементарные силы на оси:

ΣU = dTα+dNycosα-dTxsinα-dNxsinα-dTycosα = 0;                                (3.1)

ΣV = dNα+dNysinα-dTxcosα-dNxcosα-dTysinα = 0;                                (3.2)

ΣMo = -dTxdy1/2 -dTydx1/2 = 0.                                                                (3.3)

       Рассмотрим уравнение (3.3)

xdx1dz dy1/2 -τydy1dz dx1/2 = 0;

xy = 0;

τx = - τy

-                                      (3.4)

- закон парности касательных напряжений:

Касательные напряжения в двух взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и противоположны по знаку.


Рассмотрим уравнение (3.2):


σαdsdz + σydx1dz sinα- τxdx1dz cosα- σxdy1dz cosα- τydy1dz sinα = 0.


Разделим уравнение на dz ds


σα+ σydx1/ds sinα- τxdx1/ds cosα- σxdy1/ds cosα- τydy1/ds sinα = 0;

σα+ σysin2α- τxsinα cosα- σxcos2α- τycosα sinα = 0;

σα = σxcos2α + σysin2α + τxsin2α/2 - τysin2α/2 = σxcos2α + σysin2α + τxsin2α;


σα = σxcos2α + σysin2α + τxsin2α

.                                (3.5)

- формула для определения нормальных напряжений в любой площадке.


Преобразовав уравнение (3.1), получим:


τα = (σxy)sin2α/2 - τxcos2α

(3.6)

- формула для определения касательных напряжений в любой площадке.


       Площадки, в которых действуют экстремальные (максимальные и минимальные) нормальные напряжения называются главными площадками.

Найдем положение площадки, в которой действует максимальное нормальное напряжение, приравняв к нулю α/dα, тогда получим

при α=α0;

tg2α0 = 2τx/(σxy)

.-                             (3.7)

формула для определения положения главных площадок.

       

       Главные нормальные напряжения можно определить по формуле:


=

.                      (3.8)


       С помощью формул для определения нормальных напряжений в любой площадке можно найти сумму нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам. Упростив выражение, получим

σαα+90xy,

σmaxminxy

.                                    (3.9)

Сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам есть величина постоянная.


       Площадки, в которых действуют экстремальные (максимальные и минимальные) касательные напряжения называются площадками сдвига (они взаимно перпендикулярны).

При                α/dα=0|α=α1,

тогда

tg2α1=

(3.10)

-формула для определения положения площадок сдвига.

Площадки сдвига всегда расположены под углом 45о по отношению к главным площадкам.

Экстремальные касательные напряжения, действующие в площадках сдвига, определяют по формуле


=

.                        (3.11)



3.3 Исследование плоского напряженного

состояния с помощью круга Мора


Плоское напряженное состояние характеризуется двумя уравнениями (3.5) и (3.6).

       Если известны напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через данную точку, то определение напряжений по любым другим площадкам, а также положения главных площадок и площадок сдвига можно проводить графическим способом - с помощью круга Мора (или круга напряжений).

       Построим круг Мора для напряженного состояния (рис. 3.3).

       Точка А, изображенная на круге Мора, характеризует напряжения по вертикальным боковым граням элементарного параллелепипеда, точка В по горизонтальным граням. Точка Р полюс круга Мора.

       Для того, чтобы найти направление площадки, по которой действуют напряжения σαα, надо точку D(σαα) соединить прямой с полюсом Р, искомая площадка будет параллельна этой прямой.

       Для того, чтобы найти напряжения, действующие по некоторой площадке, необходимо из полюса Р провести прямую, параллельную этой площадке, до пересечения с кругом Мора; абсцисса точки пересечения равна (в принятом масштабе) нормальному напряжению σα; а ордината касательному напряжению τα по заданной площадке.





Рис. 3.3 - Исследование плоского напряженного состояния

с помощью круга Мора

3.4 Объемное напряженное состояние

       Объёмное напряженное состояние - напряженное состояние, при котором в данной точке нет ни одной площадки, свободной от напряжений.

       В курсе теории упругости доказывается, что при пространственном напряженном состоянии через каждую точку всегда можно провести три площадки, по которым касательные напряжения равны нулю. Такие площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие по ним, - главными напряжениями. Наибольшее (в алгебраическом смысле) главное напряжение принято обозначать σ1, следующее по величине - σ2, а наименьшее - σ3. (σ1 > σ2 > σ3, т.е. σ1max σ3min ).

       Выделим в окрестности точки, напряжения в которой изучаются, элементарный кубик с гранями, параллельными главным площадкам (рис. 3.4). Проведем через кубик площадку, параллельную напряжению σ1. Величины σ и τ, действующие по этой площадке, зависят только от напряжений σ2 и σ3 и не зависят от σ1. Напряжения σ и τ по любым площадкам, параллельным  одному из главных напряжений, можно определить с помощью круга Мора, построенного по двум другим главным напряжениям.

       Штриховой линией выделен круг Мора, координаты точек которого равны напряжениям σ и τ по площадкам, параллельным σ1.

       Напряжения σ и τ по площадкам, параллельным σ2, можно определить с помощью круга Мора, изображенного сплошной линией.

       По площадкам, параллельным σ3, напряжения σ и τ определяются по кругу Мора, изображенному пунктиром.

       Напряжения σ и τ по любым площадкам (не параллельным главным площадкам) определяются координатами точек, расположенных в заштрихованной области между кругами.

Рис. 3.4 - Исследование объемного напряженного состояния с помощью трех кругов Мора.

3.5 Обобщенный закон Гука

Обобщенный закон Гука для главных площадок:

,                            (3.12)

       где ε1, ε2, ε3 относительные деформации ребер параллелепипеда, параллельных главным напряжениям;

       σ123 главные нормальные напряжения;

       μ коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона).

Обобщенный закон Гука для произвольных площадок:

,                            (3.13)


       где σx, σy, σz нормальные напряжения, действующие по боковым граням элементарного параллелепипеда;

       εx, εy, εz относительные деформации ребер вдоль осей X, Y, Z.


Относительная объемная деформация отношение величины изменения объёма параллелепипеда dV к первоначальному объёму параллелепипеда dV.

Θ = dV/dV,

Θ = ε123 = εxyz

,                          (3.14)


Θ = xyz) = 123)

(3.15)

- объёмный закон Гука.

Удельная (на единицу объема) потенциальная энергия упругой деформации:

,                                (3.16)


,   [МДж/м3]

.    (3.17)


Тема 4: ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ


Вопросы

4.1 Статический момент площади.

4.2 Моменты инерции.

4.3 Моменты сопротивления.

4.4 Определение моментов инерции сечения в случае параллельного переноса осей.

4.5 Определение момента инерции при повороте осей.

4.6 Главные оси и главные моменты инерции.

4.7 Пример и методика расчета геометрических характеристик сложных сечений.

4.1 Статический момент площади

Статический момент площади относительно оси это алгебраическая сумма произведений элементарных площадок на их расстояние до этой оси.


,        см3, м3 (+;-;0)

,        см3, м3 (+;-;0)

       Статический момент сложного сечения (состоящего из нескольких простых сечений) относительно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей этого сечения относительно той же оси.

       Из теоретической механики известно:

Sx=Fyc;        Sy=Fxc,

где        xc, yc - координаты центра тяжести сечения.

Тогда координаты центра тяжести сечения можно найти по формулам:

yc=Sx/F

(4.1)

хc=Sу/F

.                                (4.2)

       Оси, проходящие через центр тяжести, называются центральными осями. Статический момент относительно любой центральной оси равен нулю.

4.2 Моменты инерции.

Различают три вида моментов инерции:

       - осевой;

       - полярный;

       - центробежный.

Осевым моментом инерции относительно некоторой оси называется взятая по всей площади сечения сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой оси.


,        см4, м4        Ix>0;

,        см4, м4        Iy>0.

Полярным моментом инерции относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей площади сечения сумма произведений элементарных площадок на квадрат расстояния до полюса.

,        см4, м4        IP>0.

       где        ρі расстояние от і-той элементарной площадки до полюса.

       Сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции этого сечения относительно точки пересечения этих осей.

IP=Ix+Iy.

Центробежным моментом инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей называется взятая по всей площади сечения сумма произведений элементарных площадок на их расстояния до этих осей.

       см4, м4 (+;-;0).

       Центробежный момент инерции сечения относительно одной или двух осей симметрии равен нулю.

4.3 Моменты сопротивления

       Различают моменты сопротивления: осевые и полярный.

       Осевым моментом сопротивления Wx, Wy называется отношение соответствующего осевого момента инерции к расстоянию до наиболее удаленной точки сечения от оси.


Wx=Ix/ymax                3, см3]                Wx>0;

Wy=Iy/xmax                3, см3]                Wy>0.


       Полярный момент сопротивления Wp - отношение полярного момента инерции к расстоянию до наиболее удаленной точки сечения от полюса.

Wp=Ipmax                3, см3]                Wp>0.



4.4 Определение моментов инерции сечения

при параллельном переносе осей


Предположим, что моменты инерции Ix, Iy, Ixy данного сечения относительно центральных осей X, Y известны. Возьмем новую систему координат X1, Y1, оси которой параллельны прежним (рис. 4.2).

Рис. 4.2 - Моменты инерции при параллельном переносе осей


На рисунке 4.2 :                а, b - расстояние между осями

x1=x+b;                 y1=y+a.


       Выразим осевой момент инерции относительно осей X1 Y1

=Ix+2aSx+a2F.

Если оси x, y центральные, то Sx=0 и Sy=0. Тогда осевые моменты инерции относительно осей X1 Y1 определим по формулам:


=Ix+a2F

(4.3)

=Iy+b2F

.                                          (4.4)


Осевой момент инерции относительно новой оси, параллельной старой центральной оси равен моменту инерции относительно старой оси плюс произведение площади сечения на квадрат расстояния между ними.


       Выразим центробежный момент инерции относительно осей X1 Y1


==

=Ixy+aSy+bSx+abF.


Если оси x, y центральные, то Sx=0 и Sy=0. Тогда центробежный момент инерции относительно осей X1 Y1 определим по формуле:


Ixy+abF

.                                  (4.5)


       Центробежный момент инерции относительно новых осей параллельных старым, проходящих через центр тяжести, равен центробежному моменту инерции относительно старых осей плюс произведение площади сечения на расстояния между осями (a, b).

       Данные формулы справедливы только при переходе от центральных осей.

4.5 Определение момента инерции при повороте осей

       Определим моменты инерции относительно новых осей X1, Y1, повернутых относительно старых осей на положительный угол α (рис. 4.3).

       Правило знаков: угол α считается положительным, если поворот осей происходит против хода часовой стрелки.







Рис. 4.3 - Моменты инерции при повороте осей:

х,у - координаты элементарной площади dF

Определим моменты инерции относительно новых осей Х1 и Y1,повернутых относительно старых осей на положительный угол α.

y1=AC=AK-KC=AB cosα - OB sinα = y cosα - x sinα;

x1=OM+MC=OB cosα BK sinα = x cosα - y sinα;

=

=cos2α Ix+sin2α Iy-Ixysin2α.


= Ix cos2α + Iy sin2α - Ixysin2α

(4.6)

= Ix sin2α + Iy cos2α + Ixysin2α

(4.7)


Ix1+Iy1=Ix+Iy=const

(4.8)


Сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей остается постоянной независимо от угла поворота α.        Выразим центробежный момент инерции относительно осей X1 Y1

=(Ix-Iy)sin2α+Ixycos2α,

=(Ix-Iy)sin2α+Ixycos2α

.                        (4.9)


4.6 Главные оси и главные моменты инерции

Как следует из формул (4.6), (4.7), величины осевых моментов инерции изменяются с изменением угла α. При некотором угле α0, один момент инерции принимает максимальное значение, а второй - минимальное.

       Данные моменты инерции являются главными моментами инерции Imax Imin, а оси - называются главными осями инерции.

       Если главные оси проходят через центр тяжести сечения, то они называются главными центральными осями инерции и соответственно моменты инерции - называются главными центральными моментами инерции.

       Для определения положения главных осей инерции необходимо взять первую производную от Ix1 относительно α и приравнять ее к нулю. Получим


tg2α0=

.                                   (4.10)


Величину главных моментов инерции находим по формуле:


.                    (4.11)


4.7 Пример и методика расчета геометрических характеристик

сложных сечений


Для сложного сечения, состоящего из прокатных профилей, используя таблицы сортамента, определить:

  1. положение главных центральных осей;
  2. величину моментов инерции относительно главных центральных осей.

Также определить при помощи графических построений момент сопротивления сечения относительно одной главной оси (рис. 4.4).

Дано: двутавр №24; уголок 180 х 110 х 12 мм; a = 0,4 b.

Решение:

  1. Выпишем из таблиц сортамента геометрические данные прокатных профилей:

Двутавр №24:

h        = 24 см;

b        = 11,5 см;

s        = 0,56 см;

F        = 34,8 см2;

IX        = 3460 cм4;

IY        = 198 см4;

IXY        = 0 (т.к. оси X и Y двутавра являются его осями симметрии).







Уголок 180х110х12:

В        = 18 см;

b        = 11 см;

d        = 1,2 см;

x0        = 2,52 см;

y0        = 5,97 см;

F        = 33,69 см2;

IX        = 1122,56 cм4;

IY        = 324,09 см4;

IU min        = 194,28 cм4;

tg α        = 0,374 (α = 20° 30' = 20,5°).

Значение центробежного момента инерции уголка найдем из формулы для определения положения главных осей инерции сечения:


.


(Можно заметить, что данная формула аналогична формуле для определения положения главных площадок при плоском напряженном состоянии.)

Тогда центробежный момент инерции уголка равен:


.


Значение получилось отрицательным, т.к. в сортаменте ось минимум уголка (Umin) проходит через 2 4 квадрант. В заданном же сечении уголок развернут так, что его ось минимум пройдет через 1 3 квадранты, поэтому в данной задаче значение центробежного момента инерции уголка будем считать положительным.

  1. Построим заданное сечение в масштабе по размерам, взятым из таблиц сортамента, причем a = 0,4bдвутавра = 0,411,5 = 4,6 см.
  2. Выберем начало отсчета.

Удобно за начало отсчета принять центр тяжести двутавра, т.к. в заданном сечении двутавр расположен вертикально (так же, как в сортаменте). Тогда оси двутавра образуют вспомогательную систему координат.

  1. Во вспомогательной системе координаты центра тяжести двутавра получатся равными нулю:

.

Из чертежа найдем координаты центра тяжести уголка во вспомогательной системе:

  1. Определим координаты центра тяжести всего сечения:


;

.

  1. Определим координаты центра тяжести всего сечения:

;

.


где        F        - площадь всего сечения, [см2];

F I        - площадь двутавра, [см2];

F II        - площадь уголка, [см2];

       - координаты центра тяжести всего сечения, [см];

       - координаты центра тяжести двутавра, [см];

       - координаты центра тяжести уголка, [см].


;

.


На чертеже в масштабе отложим точку С ( 2,37; +7,14).

(Центр тяжести всего сечения должен попасть на отрезок, соединяющий центры тяжести двутавра и уголка. Центр тяжести всего сечения будет ближе к центру тяжести того профиля, у которого больше площадь.)


  1. Проведем через центр тяжести сечения (т.С ) оси XC и YC (центральные).


  1. Найдем расстояния от центральных осей сечения до параллельных осей:

;

;

;

.


Определим величину моментов инерции сечения относительно центральных осей XC и YC при помощи формул параллельного переноса:


;

;


;

;


;

,


где        - моменты инерции двутавра, [см4];

       - моменты инерции уголка, [см4];

F I        - площадь двутавра, [см2];

F II        - площадь уголка, [см2];

aI, bI        - расстояния от центральных осей XC и YC до осей двутавра, [см];

aII, bII        - расстояния от центральных осей XC и YC до осей уголка, [см].

Значение центробежного момента инерции уголка в последнем выражении положительно (+347,11), так как уголок в заданном сечении расположен таким образом, что его ось минимум проходит через 1 3 квадрант.

  1. Определим угол наклона главных центральных осей сечения :


,


где IXсYс         центробежный момент инерции сечения относительно осей XC и YC , [см4];

I         момент инерции сечения относительно оси XC (горизонтальной), [см4];

I         момент инерции сечения относительно оси YC (вертикальной), [см4].


;

.


Т.к. получили положительное значение α0, значит, для того, чтобы найти главную ось, необходимо заданные оси повернуть против часовой стрелки на угол α0.

  1. Повернув центральные оси (XC и YC) на угол , получим главные центральные оси сечения (X0 и Y0).

Т.к. центробежный момент инерции сечения отрицателен, значит, осью минимум будет та из главных осей, которая проходит через 2 4 квадрант.

Тогда:

Y0 ось минимум,

X0 ось максимум

(соответственно, ).

  1. Определим величину моментов инерции относительно главных центральных осей:


;


Тогда:

Проверка:

;

7517,94 + 1593,40 = 7393,09 + 1718,25;

9111,34 = 9111,34.

(Можно заметить, что формула для определения аналогична формуле для определения главных напряжений при плоском напряженном состоянии).

  1. Определим момент сопротивления сечения относительно оси максимум.

Для этого момент инерции сечения относительно оси максимум необходимо разделить на расстояние от этой оси до наиболее удаленной от нее точки.

Если , тогда

.

(Величину ymax найдем, опустив на чертеже перпендикуляр на ось максимум из точки, которая от нее наиболее удалена. Измерив длину полученного перпендикуляра и умножив ее на масштаб чертежа, найдем истинное расстояние ymax , которое подставим в знаменатель формулы).