sopr2

ВВЕДЕНИЕ


"Сопротивление материалов" - одна из важных общетехнических дисциплин, которые формируют мышление инженера, и имеет большое значение для подготовки квалифицированных специалистов технических специальностей. Сопротивление материалов является одним из наиболее тяжелых курсов, которые требуют глубокого и систематического изучения теории и прохождения практикума.

Начало науки о сопротивлении материалов связывают с именем знаменитого физика, математика и астронома Галилео Галилея, который в работе, опубликованной в 1638 г., дал решение некоторых важных задач динамики и сопротивления материалов.

В 1660 г. Р. Гук сформулировал закон, устанавливающий связь между нагрузкой и деформацией и имеющий исключительно важное значение для сопротивления материалов.

Сопротивление материалов наряду с теорией упругости, теорией пластичности и теорией сооружений является разделом строительной механики.

В отличие от теоретической механики, в которой все тела рассматриваются как абсолютно твердые, в сопротивлении материалов учитывается, что элементы конструкции при действии внешних сил изменяют свою форму и размеры, т.е. деформируются.

При проектировании различных конструкций (сооружений, машин, приборов и др.) необходимо проводить расчеты на прочность. Неправильный расчет самой, на первый взгляд, незначительной детали может повлечь за собой очень тяжелые последствия, привести к разрушению всей конструкции.

Кроме расчетов на прочность, во многих случаях проектирования производят расчеты на жесткость и устойчивость.

Целью расчетов на жесткость является определение таких размеров элементов конструкций, при которых перемещения (деформации) не превышают заданных величин, допустимых по условиям нормальной эксплуатации.

При проведении расчетов необходимо сочетать надежность работы сооружения с его экономичностью, получать необходимые прочность, жесткость и устойчивость при наименьшем расходе материалов.

Сопротивление материалов является экспериментально-теоретической наукой, так как она широко использует опытные данные и теоретические исследования.

Данный конспект лекций дает представление лишь об основных вопросах, на которые необходимо обратить внимание при изучении дисциплины "Сопротивление материалов". Для полного усвоения материала студенту также необходима работа с учебником, задачником, справочником и другой вспомогательной литературой [1, 2, 3].

Тема 5: Сдвиг


Вопросы

5.1 Чистый сдвиг.

5.2 Закон Гука при сдвиге.

5.3 Практические расчеты элементов конструкций, работающих на сдвиг.

5.1 Чистый сдвиг

       Чистый сдвиг - такой вид плоского напряженного состояния, при котором в окрестности данной точки существует две взаимно перпендикулярные площадки, по которым действуют только касательные напряжения.

       Если в поперечном сечении бруса возникает только поперечная сила, то он испытывает деформацию сдвига.

       Определим нормальные и касательные напряжения на площадке, проведенной под углом α к вертикальной плоскости (рис. 5.1).

Рис. 5.1 - Плоское напряженное состояние при чистом сдвиге

σα = σxcos2α + σysin2α + τxsin2α,

τα = (σx-σy)sin2α/2 - τxcos2α.

Т. к.                                        τy=-τx,

σx=0        ,        σy=0

       Тогда

σα = τxsin2α

(5.1)

τα = - τxcos2α

(5.2)


-формулы для определения напряжений в произвольной площадке при чистом сдвиге.

Определим экстремальные касательные напряжения:


При        α = 0:                        τα = τу = - τх,

       α = 90˚                τα = τх = - τх(-1),


τх= τmax;                τу= -τх= τmin                -площадки сдвига.


       Следовательно, касательные напряжения τ, действующие по боковым граням рассматриваемого параллелепипеда, являются экстремальными (τmax; τmax;), а эти грани являются площадками сдвига и образуют с главными площадками углы, равные 45°.

       Эти площадки сдвига отличаются от площадок сдвига в общем случае напряженного состояния тем, что по ним не действуют нормальные напряжения. Такие площадки называют площадками чистого сдвига.


Главные площадки при чистом сдвиге:

При        α0=45˚:                σα = σmax =  τхsin(2 45˚)=τx=τmax,

       Α0=135˚                σα = σmin = τхsin(2 135˚)=-τx=τmin,

σx+σy=σmax+σmin=σα+σα+90˚=0.


При чистом сдвиге нормальные напряжения в двух взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и противоположны по знаку.

Следовательно, при чистом сдвиге главные напряжения и экстремальные касательные напряжения по абсолютной величине равны друг другу.

Таким образом, напряженное состояние чистого сдвига можно изобразить в виде (рис. 5.2):

1)элементарного параллелепипеда ABCD, боковые грани которого совмещены с площадками чистого сдвига и по которым действуют только касательные напряжения τmax, τmin;

2)элементарного параллелепипеда abcd с боковыми гранями, совпадающими с главными площадками, по которым действуют только нормальные напряжения σmaxτmax, σmin = τmin;

3)элементарного параллелепипеда klmn, боковые грани которого не совпадают с площадками чистого сдвига и главными площадками. По граням этого параллелепипеда действуют нормальные напряжения, равные друг другу по величине и противоположные по знаку, и касательные напряжения.


Сделанные выводы об особенностях чистого сдвига можно получить путем анализа круга Мора (рис. 5.3), который в этом случае представляет собой окружность с центром в начале системы координат.




Рис. 5.3 - Круг Мора для чистого сдвига


5.2 Закон Гука при сдвиге

       При деформации чистого сдвига (рис. 5.4) длины ребер элементарного параллелепипеда не изменяются, а изменяются лишь углы между боковыми гранями на угол γ (γ угол сдвига).

Рис. 5.4 - Деформации при чистом сдвиге

Горизонтальные грани параллелепипеда перемещаются относительно друг друга на величину АА = ВВ/, называемую абсолютным сдвигом (м, см).

       Отношение абсолютного сдвига к расстоянию между противоположными гранями называется относительным сдвигом.

       Закон Гука при сдвиге: Угол сдвига γ прямо пропорционален касательным напряжениям


γ = τ / G

,                                      (5.3)


τ = γG

,                                        (5.4)


где G - модуль упругости второго рода (модуль сдвига), [МПа].


       Модуль сдвига является упругой постоянной материала, которая характеризует его жесткость (т.е. способность сопротивляться упругим деформациям) при сдвиге.

       Между тремя упругими постоянными материала Е, G и μ существует зависимость:

G =

,                                      (5.5)


где Е модуль продольной упругости І рода (модуль Юнга);

μ - коэффициент Пуассона.



5.3 Практические расчеты элементов конструкций,

работающих на сдвиг


       В некоторых элементах конструкций (сварные швы, заклепки и т.п.) по отдельным сечениям действуют значительные касательные напряжения. В этих же сечениях, как правило, действуют и нормальные напряжения, а потому они не являются площадками чистого сдвига. Однако, если нормальные напряжения в них значительно меньше касательных, то в приближенных расчетах учитываются лишь касательные напряжения, а указанные сечения при этом рассматриваются как площадки чистого сдвига.


Условие прочности при сдвиге:


τмах = Ј [τ]

,                                        (5.6)


где Q - поперечная сила.

Расчет сварного соединения (рис. 5.5)

Определим площадь среза:

Fcp=Σli шв 0,7hшв


Тогда касательные напряжения определим по формуле:

τmax=P/Σli шв 0,7hшвЈ[τ],


где Σ li шв - сумма длин всех участков сварного шва, которую можно определить как

Σli шв = P/0,7hшв[τ].

Расчет заклепочных соединений


Расчет заклепочного соединения выполняется в три этапа: расчет заклепок на срез (рис. 5.6), расчет листа на разрыв и на смятие (рис. 5.7).



n - число заклепок;

n1 - число заклепок в ряду;

m - число плоскостей среза заклепки;

dз - диаметр заклепки.

       Произведем расчет заклепочного соединения на срез:

τмах = Q/Fср Ј [τ]

,      (5.7)

Q=Р

,

τмах = 4Р/nmπd2з Ј [τ],

n=4Р/πd2зm[τ].



Рассмотрим сечение листа, ослабленное отверстиями под заклепочные соединения:

Рис. 5.7 - Расчет соединяемых элементов на разрыв и смятие

       Рассчитаем лист на разрыв:

σмах = P/Fнетто Ј [σ]

(5.8)


Fнетто=Fбрутто-dзhn1

Fбрутто=bh


Ј [σ]

Ј b-dзn1

n1 Ј


Проверим лист на смятие:

σсм = P /Fсм Јсм]

(5.9)


Fсм = dз h n

σсм = P /dз h n Ј [σсм]

см] 2[σ]




Тема 6: Кручение


Вопросы

6.1 Определение внутренних усилий при кручении. Построение эпюр.

6.2 Напряжения при кручении бруса круглого поперечного сечения. Условие прочности при кручении.

6.3 Главные напряжения при кручении. Типы разрушений валов.

6.4 Потенциальная энергия деформации.

6.5 Расчет цилиндрических винтовых пружин.



6.1 Определение внутренних усилий при кручении.

Построение эпюр


Кручение - такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса (вала) возникает только одно внутреннее усилие - крутящий момент.

       Кручение возникает в валах, винтовых пружинах и других элементах машин и конструкций.

Кручение происходит при нагружении бруса внешними моментами, которые называются скручивающими моментами. Плоскость действия скручивающих моментов перпендикулярна продольной оси вала.

Если прямой брус находится в состоянии покоя или равномерного вращения, то алгебраическая сумма всех внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу, равна нулю.

При расчете валов иногда скручивающие моменты определяют по потребляемой мощности и по частоте вращения вала.

N, кВт;        ω, с-1;                n, об/мин

Мк = N/ω, кН м,

Мк = 30N/πn, кН м.

Крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала, определяют по внешним скручивающим моментам с помощью метода сечений (рис. 6.1).

Рис. 6.1- Определение крутящих моментов

Внешние моменты (М1 и М2)- скручивающие;        внутренний (Мкр) крутящий (рис.6.2).

M1=M2

       Правило знаков для внешних скручивающих моментов:

M: «+»                        M: «-»        ;                M1>0;        M2<0

Рис. 6.2 - Правила знаков для моментов при кручении





Внутренний крутящий момент считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части он стремится поворачивать вал по ходу часовой стрелки (Mкр: «+»        ,        Mкр: «-»        ).

Значение крутящего момента Mкр будет положительно, если при взгляде в торец отсеченной части скручивающий момент будет стремиться повернуть вал против хода часовой стрелки.

На основании метода сечений крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.


Построение эпюр крутящих моментов


  1. Изображаем расчетную схему вала с указанием всех скручивающих моментов, действующих на него.
  2. Разбиваем вал на участки, границами которых являются сечения, в которых приложены внешние скручивающие моменты.
  3. В пределах каждого участка вычисляем внутренний крутящий момент как алгебраическую сумму внешних скручивающих моментов по одну сторону от сечения (участка).
  4. По результатам вычислений строим эпюру крутящих моментов


Правило проверки эпюры крутящих моментов: в сечении, в котором к валу приложен внешний скручивающий момент, ордината эпюры изменяется скачкообразно на величину, равную значению этого момента.


Пример 1

Вычисляем величину крутящего момента Mкр на каждом участке (рис. 6.3):

Уч.1                Mкр1 = - М1 = - 20 кНм.

Уч.2                Mкр2 = - М1 + М2 = - 20 + 28 = 8 кНм.

Уч.3                Mкр3 = - М1 + М2 + М3 = - 20 + 28 + 10 = 18 кНм.

Уч.4                Mкр4 = - М5 = - 12 кНм.

Рис. 6.3 - Эпюра крутящих моментов для вала


6.2 Напряжения при кручении бруса круглого поперечного сечения.

Условие прочности при кручении


Рассмотрим элемент скручиваемого вала длиной dz (рис. 6.4).

Рис. 6.4 - Деформации при кручении бруса круглого поперечного сечения

В результате деформации одно сечение повернется относительно другого на угол - угол поворота сечения.

AA1=ρ ,

AA1=dz γ,

ρ = γ dz.

Обозначим относительный угол закручивания

θ = /dz,

тогда

γ = ρθ

из закона Гука для сдвига                γ = τ /G,

тогда

τ /G = ρθ        ,        τ = ρθG


       В поперечных сечениях вала при кручении возникают касательные напряжения, направленные в каждой точке перпендикулярно радиусу, соединяющему эту точку с центром сечения. Величина касательных напряжений прямо пропорциональна расстоянию точки от центра. В центре (при ρ=0) касательные напряжения равны нулю; в точках, расположенных в непосредственной близости от внешней поверхности вала, касательные напряжения наибольшие (рис. 6.5).

Рис. 6.5 - Касательные напряжения в поперечном сечении вала при кручении


Во всех точках круглого бруса при кручении создается напряженное состояние чистого сдвига.

Элементарную поперечную силу определим по формуле:

dQ=τdF,

тогда крутящий момент равен

dMКР=dQ ρ=τ dF ρ,

MКР =ρ τ dF =ρ ρ θ G dF = θGρ2dF = θGIP,

MКР = θGIP.

       Находим касательные напряжения при кручении, подставляя значение θ:

θ = ,

МКР = GIP = ,

τ =

.                                      (6.1)


Максимальная величина касательных напряжений будет при ρ= ρmax

τmax = max,

ρmax= d/2,

τmax = = .

       Полярный момент сопротивления для круглого поперечного сечения:

WP = 0,2d3.

       Условие прочности при кручении имеет вид:


τmax = Ј [τ]

,                                    (6.2)


τmax = Ј [τ].

       Диаметр вала из условия прочности определяют по формуле:


.                                          (6.3)


       Выразим деформации при кручении через Mкр:


θ = MКР/GIP

.                                          (6.4)


Относительный угол закручивания

θ = φ/l,

где l - длина участка;

φ - угол поворота сечения.

Тогда

φ =

.                                       (6.5)


Для условий примера 1 определим углы закручивания на каждом участке и построим эпюру углов поворота сечений (рис.6.6)  IP=1000 cм4 = 1000·10-8 м4,
G = 8·105 МПа = 8·108 кПа.

Углы закручивания для каждого участка

φ1 = = = -0,0025 рад,

φ2 = = = 1,2·10-3 рад,

φ3 = = = 2,2510 -3 рад,

φ4 = = = -1,2·10-3 рад.

По величине углов закручивания на каждом участке строят эпюру углов поворота сечений (см. рис. 6.6). Угол поворота любого сечения равен алгебраической сумме углов закручивания всех участков, расположенных между условно неподвижным и рассматриваемым сечением.

φА = 0,

φВ = φ1,

φC = φ12 = -2,510-3+1,210-3 = -1,310-3 рад,

φD = φC3 = -1,310-3+2,2510 -3 = 0,9510-3 рад,

φE = φD4 = 0,9510-3-1,210-3 = -0,2510-3 рад.

Рис. 6.6 - Эпюры крутящих моментов и углов поворота сечений

(для условий примера 1)

6.3 Главные напряжения при кручении. Типы разрушений валов

       В поперечных сечениях вала при кручении возникают касательные напряжения, которые в каждой точке перпендикулярны радиусу, соединяющему эту точку с осью вала; такие же напряжения (по закону парности касательных напряжений) возникают и в продольных плоскостях вала (рис. 6.7), т.е. в плоскостях, содержащих его продольную ось.

       Если вблизи поверхности вала выделить элементарный параллелепипед, то по его боковым граням будут действовать только касательные напряжения (рис. 6.7). Значит, параллелепипед находится в плоском напряженном состоянии чистого сдвига. Боковые грани являются площадками чистого сдвига, и, следовательно, действующие на них касательные напряжения являются экстремальными.

Рис. 6.7 - Напряжения, возникающие при кручении

       Главные напряжения при чистом сдвиге равны по величине экстремальным касательным напряжениям и, следовательно, равны касательным напряжениям по боковым граням параллелепипеда, расположенным в поперечных сечениях вала. Главные площадки наклонены под углом 45º к площадкам чистого сдвига.

       Наибольшие по величине экстремальные касательные и главные напряжения действуют в окрестностях точек, расположенных в непосредственной близости от внешней поверхности вала. Эти напряжения можно определить по формуле:


τmax = ;                σmax = τmax        ,        σmin = -τmax.

Эти напряжения определяют характер разрушений валов из различных материалов при кручении.



6.4 Потенциальная энергия деформации


       Работа внешнего статически нарастающего момента равна половине произведения конечного значения этого момента на угол поворота сечения, где приложен момент.

А=U = ,

φ = .

Потенциальную энергию деформации каждого участка можно определить по формуле:

Ui = .

Полную потенциальную энергию деформации всего вала определяют как сумму потенциальных энергий деформаций всех участков

U = ,

n - число участков

U =

.                                      (6.6)


6.5 Расчет цилиндрических винтовых пружин


       Пружины являются одним из распространенных упругих элементов механизмов и машин. Их используют главным образом для смягчения ударов и толчков в транспортных средствах. В ряде случаев пружины используют в качестве аккумуляторов энергии для приведения в движение отдельных деталей или механизмов. Наибольшее применение получили цилиндрические винтовые пружины, изготовляемые из прутков круглого поперечного сечения, на которые действуют силы вдоль продольной оси.

       Рассмотрим пружину, нагруженную по концам силами Р, действующими вдоль оси пружины и направленными в противоположные стороны (рис. 6.8).

Обозначим:

d        - диаметр проволоки пружины, м,

D        - диаметр витка пружины, м,

n        - число витков пружины,

G        - модуль сдвига материала проволоки,

λ        - осадка пружины под действием сил.

Рис. 6.8 - Расчет пружины, нагруженной продольными силами

       Рассечем мысленно пруток плоскостью, проходящей через ось пружины, и отбросим нижнюю часть пружины. Верхняя часть будет находиться в равновесии под действием внешней силы Р и внутренних усилий в проведенном сечении прутка (рис. 6.9), заменяющих действие отброшенной части пружины на верхнюю часть.

       Из условия равновесия оставленной верхней части следует: равнодействующая указанных внутренних усилий представляет собой силу S, направленную вниз вдоль оси пружины. Эту силу можно заменить вертикальной силой Qy (приложенной в центре сечения прутка) и моментом Мкр, действующими в плоскости проведенного сечения прутка.

       Составим уравнения равновесия для определения внутренних усилий:

Σz = P-Qy = 0,

Qy = P,

ΣM = Мкр - РD/2=0,

Мкр = .

       Полные касательные напряжения можно найти как сумму касательных напряжений, возникающих от действия поперечной силы Qy и крутящего момента Мкр (рис. 6.7).


τy = τyQyMк

τyQ = ;         F = ;

τyQ = = ,

= = ,

τmax = + = .


τmax = Ј[τ]

Обычно второе слагаемое в круглых скобках формулы значительно меньше единицы и им можно пренебречь. Тогда формула примет вид:


τmax = Ј[τ]

.                                    (6.7)


       Из формулы следует, что увеличение диаметра пружины уменьшает, а увеличение диаметра прутка увеличивает ее прочность.

       Рассмотрим деформацию (осадку) пружины λ, т.е. изменение ее длины в направлении оси пружины.

Работа статически приложенных сил Р на перемещении, равном деформации λ, определяется из выражения:

A = .

       Потенциальную энергию деформации пружины, вызванной силами Р, определяем только от крутящих моментов, возникающих в поперечных сечениях прутка пружины. Влиянием силы Qy=P на деформацию пружины пренебрегаем.

U = ;

IP = ;                Мк = ;                l = πd n,

U = = ;

A = U,

= .

λ =

(6.8)

Модуль упругости 2-го рода (модуль сдвига) можно определить из выведенной формулы:

G = ;

G = 8104 Мпа.


Тема 7: ИЗГИБ


Вопросы

7.1        Изгиб.

7.2        Порядок построения эпюр внутренних усилий для балок.

7.3        Теорема Журавского.

7.4        Нормальные напряжения при изгибе.

7.5        Касательные напряжения при поперечном изгибе.

7.6        Потенциальная энергия при изгибе.

7.7        Деформации балки.

7.8        Метод начальных параметров.



7.1        Изгиб


При центральном растяжении-сжатии и кручении прямых брусьев их оси остаются прямыми и после деформации. В отличие от этих видов деформаций, при изгибе происходит искривление осей прямых брусьев. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов.

Изгибающий момент внутренний силовой фактор, действующий в плоскости, перпендикулярной поперечному сечению бруса и проходящей через его продольную ось.

Прямой изгиб это изгиб, при котором плоскость действия изгибающего момента проходит через одну из главных центральных осей инерции сечения.

Случай, когда плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных центральных осей инерции этого сечения, называется косым изгибом.

В поперечных сечениях балки при изгибе, в общем случае, возникают два внутренних усилия: изгибающий момент Мх и поперечная сила Qy.

Чистым изгибом называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении возникает только изгибающий момент.

Если в поперечном сечении, кроме изгибающего момента возникает и поперечная сила, такой изгиб называется поперечным.

Правила знаков для внутренних усилий:

Брус (стержень), работающий на изгиб называют балкой (рис. 7.1).


Рис. 7.1 - Способы закрепления балок


Если балка закреплена на двух опорах, то её расчет начинают с определения реакций опор. Опорные реакции находят из уравнений равновесия:

MA = 0,

MB = 0.

Проверка:

y = 0.



7.2         Порядок построения эпюр для балок


       При расчете на прочность необходимо знать закон изменения внутренних усилий в поперечных сечениях бруса по его длине, возникающих от действующих нагрузок. Этот закон можно выразить в виде эпюр. Внутренние усилия (изгибающий момент и поперечная сила) определяют методом сечений.


Порядок построения эпюр

  1. определяем опорные реакции балки (для консольных балок определение опорных реакций необязательно);
  2. разбиваем балку на участки (рис. 7.2), границами которых являются точки приложения сосредоточенных сил (т. A, B, C), точки приложения сосредоточенных моментов (т. D), точки начала (т. K) и окончания действия (т. L) распределенной нагрузки, точки скачкообразного изменения интенсивности (т. E) распределенной нагрузки;








Рис. 7.2 - Разбиение балки на участки

  1. используя метод сечений и уравнения равновесия, находим закон изменения внутренних усилий Мх и Qy на каждом участке;
  2. строим эпюры внутренних усилий Мх и Qy.

Пример: Для заданной балки (рис. 7.3) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, если Р=6 кН, М=8 кНм, q=4 кН/м.

Равнодействующая для распределенной нагрузки равна

Rq = qa = 44 = 16 кН.

Рис. 7.3 - Построение эпюр внутренних усилий

Решение:

1) Определяем опорные реакции из условия равновесия

MA = - Pa - M + RB(a+b+c) - qa = 0,

RB = = = = 8 кН,

MВ = - M + P(b+c) + qa(+b+c) - RA(a+b+c) = -M + 4P + 6q - 8RA = 0,

RA = = = = 14 кН.

Проверка:

y = 0;

y = RA - qa - P +RB = 14 - 44 - 6 + 8 = 0.

2) Разбиваем балку на участки.

3) Вычислим значения внутренних усилий Qy и Mx и построим эпюры.

На каждом участке на произвольном расстоянии z методом сечений определяем Qy и Mx в функции от координаты z. На основании полученных зависимостей строим эпюры.








Уч 1: 0Јz1Ј4,

y = RA - QY - qz1 = 0,

QY = RA - qz1 = 14 - 4z1,

При z1 = 0;                QY = RA  = 14 кН,

При z1 = 4;                QY = RA - 4q = 14 - 44 = -2 кН,

М = МX+qz1 - RAz1 = 0,

МX = -qz1 + RAz1 = 0,

При z1 = 0;                МX = 0,

При z1 = 4;                МX = -4 + 144 = 24 кНм.

Т.к. значение поперечной силы QY меняется с положительного на отрицательное, то на эпюре изгибающих моментов будет наблюдаться экстремум функции. Определим экстремальное значение изгибающего момента.

При z1 = zэкстрем                QY = 0,


QY = RA - qz1 = RA - qzэкстрем = 14 - 4zэкстрем = 0,

zэкстрем = RA /q = 14/4 = 3,5 м.

При z1 = zэкстрем = 3,5;        МX = - 4 + 143,5 = 24,5 кНм.

Парабола имеет выпуклость навстречу направлению действия распределенной нагрузки.








Уч 2: 4Јz2Ј6;

y = QY + RВ = 0;

QY = -RB = -8 кН;

М = -МX - М+RB(8 - z2) = 0,

МX = RB(8 - z2) - M= 0,

При z2 = 4;                МX = 8(8-4) - 8 =
24 кН,

При z2 = 6;                МX = 8(8-6) - 8 = 8 кН.




Уч 3: 6Јz3Ј8;





y = QY + RВ = 0,

QY = -RB = -8 кН,

М = -МX +RB(8 - z3) = 0,

МX = RB(8 z3) = 0,

При z3 = 6;                МX = 8(8-6) = 16 кН,

При z3 = 8;                МX = 0 кН.

По полученным значениям поперечных сил и изгибающих моментов на каждом участке строим эпюры.


Некоторые особенности эпюр


1. В точках приложения сосредоточенных сил на эпюре Qy должны быть скачки на величину этих сил.

2. На участках, где приложена распределенная нагрузка, величина Qy изменяется по линейному закону на величину равнодействующей распределенной нагрузки, а эпюра Mx ограничивается квадратной параболой. При построении эпюры Mx выпуклость параболы обращена в сторону противоположную направлению действия распределенной нагрузки.

3. В точке, где приложен сосредоточенный момент, на эпюре Qy нет никаких изменений, а на эпюре Mx будет скачок на величину сосредоточенного момента.

4. В сечении, где Qy = 0, касательная к эпюре Mx параллельна оси, т.е. момент принимает экстремальное значение. Если при движении слева направо Qy меняет знак с «+» на «-», имеем Mmax , если знак меняется с «-» на «+», имеем Mmin.

5. На участках, где поперечная сила положительна, момент возрастает, на участках, где поперечная сила имеет отрицательное значение, изгибающий момент убывает.

7.3 Теорема Журавского

       Рассмотрим балку, находящуюся под действием плоской системы сил (рис. 7.4). Двумя поперечными сечениями, отстоящими на расстоянии dz друг от друга, выделим из балки элемент, к которому не приложены внешние сосредоточенные силы и моменты.

Рис. 7.4 - Балка под действием плоской системы сил.

       Составим уравнения равновесия для участка балки длиной dZ.


y = QY + q dz -(QY + dQY) = 0,

y = q dz - dQY = 0.

Откуда

= q

.                                   (7.1)


Производная от поперечной силы по координате z равна интенсивности распределенной нагрузки.

М = -МX - QY dz - qdz + (MX + dMX) = 0,

М = - QY dz - qdz + dMX = - QY dz + dMX  = 0.

Пренебрегаем qdz как величиной второго порядка малости.


= QY

.                                (7.2)


Производная от изгибающего момента по координате z равна поперечной силе (теорема Журавского).

Эти зависимости действительны, когда координата z возрастает от левого конца балки к правому. Если координата z возрастает от правого конца балки к левому, то в правых частях формул (1), (2) перед q и QY должен стоять знак «-».

Из курса математики известен геометрический смысл первой производной:  - тангенс угла наклона касательной.

Следствия из теоремы Журавского

  1. Поперечная сила QY равна тангенсу угла между касательной к линии, ограничивающей эпюру изгибающих моментов MX, и осью эпюры.
  2. На участках балки, на которых поперечная сила положительна, изгибающий момент возрастает (если при движении слева направо), а на участках, на которых она отрицательна, - убывает.
  3. Чем больше по абсолютной величине значение поперечной силы QY, тем круче линия, ограничивающая эпюру изгибающих моментов MX.
  4. На участке балки, на котором поперечная сила QY имеет постоянное значение, эпюра MX ограничена прямой линией.
  5. В сечениях балки, где QY меняет знак (переходит через ноль), изгибающий момент принимает экстремальные значения. Если QY изменяется за счет скачка (разрыва функции QY), экстремальное значение момента MX достигается в результате излома на эпюре.
  6. На участках действия распределенной нагрузки q поперечные силы изменяются по длине балки; эпюры изгибающих моментов на этих участках ограничены параболами, с выпуклостью навстречу направления действия нагрузки.
  7. На участках балки, на которых распределенная нагрузка отсутствует, поперечные силы постоянны, а изгибающие моменты меняются по линейному закону.

Из формулы (7.1)

q dz = dQY,

q dz = dQY,


ql = QYK - QYH = ΔQY,

ql = ΔQY

.                                            (7.3)


Приращение поперечной силы ΔQy на каком-то участке равно равнодействующей распределенной нагрузки на этом участке.

       Из формулы (7.2)

dMX  = QY dz ,

dMX = QY dz = dω ,

MXK - MXH = ω,

ω - площадь эп. QY на каком-либо участке

ΔMX = ω

.                                        (7.4)

Приращение изгибающего момента на каком-либо участке равно площади эпюры Qy на этом участке (площадь берется с учетом знака эпюры Qy).

       Рассмотрим пример:

1.Определим опорные реакции

MA = - Pa - qb(a+) + M + RB(a+b+c) = 0,

RB = = = = 14,5 кН,

MВ = - RA(a+b+c) + P(b+c) + qb(c + ) + M = 0,

RA = = = = 19,5 кН.

Проверка:       y = RA - P -qb + RB = 19,5 - 16 - 63 + 14,5 = 0

2.Построим эпюру Qy, используя теорему Журавского.

3.Построим эпюру Mx, используя теорему Журавского.

ω2I = 3,50,6 = 1,05 кНм,

ω2II = -14,52,4 = -17,4 кНм,

ω3 = -14,51 = -14,5 кНм.


Пример : По заданной эпюре QY построить эпюру MX , зная, что на балку не действуют внешние сосредоточенные моменты.

7.4 Нормальные напряжения при изгибе


Для наглядного представления характера деформации брусьев при изгибе проводится следующий опыт. На боковые грани резинового бруса прямоугольного сечения наносится сетка линий, параллельных и перпендикулярных оси бруса. Затем к брусу по его концам прикладываются моменты. Под действием моментов брус испытывает прямой чистый изгиб. В результате деформации, линии сетки, параллельные оси бруса искривляются, сохраняя между собой прежние расстояния. Линии сетки, перпендикулярные оси бруса (их можно рассматривать как следы плоскостей поперечного сечения), остаются прямыми.

Рассмотрим случай чистого изгиба (рис. 7.5).

Рис. 7.5 - Определение нормальных напряжений при изгибе

       Выделим из рассматриваемого бруса двумя поперечными сечениями элемент длиной dZ. В результате деформации поперечные сечения остаются плоскими, но наклоняются по отношению к друг другу на некоторый угол . Примем сечение ае условно за неподвижное. Тогда правое сечение bf повернется на угол . Точка O1 является центром кривизны продольных волокон элемента dZ. Верхние волокна этого элемента удлиняются, а нижние укорачиваются. Волокна некоторого промежуточного слоя mn, перпендикулярного плоскости действия момента Mx, сохраняют свою длину. Этот слой называют нейтральным слоем.

Обозначим ρ - радиус кривизны нейтрального волокна.

       Рассмотрим некоторый слой cd, расположенный на расстоянии y от нейтрального слоя. Абсолютное удлинение волокон этого слоя dd/, а относительное

ε = = ,

ed = mn = dz,

dd/ = Δdz.

Рассмотрим подобие треугольников

Δ Odd/ ~ Δ O1mn,

,

mO1 = ρ,

nd = y,

dd1 = Δdz,

nm = dz,

,

.

       В теории изгиба предполагается, что продольные волокна не давят друг на друга. Таким образом, все продольные волокна при чистом изгибе находятся в условиях одноосного растяжения или сжатия. Тогда по закону Гука:

,

.                                            (7.5)

       В поперечном сечении бруса в каждой его точке нормальные напряжения пропорциональны расстоянию y от этой точки до нейтральной оси, представляющей собой линию пересечения нейтрального слоя с поперечным сечением.

       В точках нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю; по одну сторону от нейтральной оси они растягивающие, а по другую сжимающие. Рассмотрим рис. 7.6

       Составим уравнения равновесия:

y = 0,

x = 0,

z = dF = = = 0

Статический момент сечения

= SX,

т.к. SX = 0 - значит, ось X проходит через центр тяжести сечения - она не деформируется (нейтральная линия).


MZ = 0 = 0,

MY = = 0,

= 0,

= 0,

= IXY = 0.

Так как центробежный момент инерции сечения IXY равен нулю, оси X,Y будут главными центральными осями инерции.

MX =MX - = 0,

MX - = 0,

MX - = 0,

= IX,

MX = IX,

               ,

MX = IX.


Нормальные напряжения при чистом изгибе будут определяться по формуле


σ = y

.                                  (7.6)


Поперечная сила не влияет на величину напряжений, поэтому формула справедлива и при поперечном изгибе.

       При выводе формулы (7.6) не было учтено, что, согласно принятому правилу знаков, изгибающий момент MX является отрицательным. Если учесть это, то перед правой частью формулы (7.6) необходимо поставить знак минус. Тогда при положительном изгибающем моменте в верхней зоне бруса
(т.е при y>0) значения нормальных напряжений получатся отрицательными, что указывает на наличие в этой зоне сжимающих нормальных напряжений, а при отрицательном изгибающем моменте в верхней зоне бруса будут возникать положительные (растягивающие) нормальные напряжения.

       Из формулы (7.6) следует, что наибольшие (положительные - растягивающие) и наименьшие (отрицательные - сжимающие) нормальные напряжения в поперечном сечении бруса возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, расположенных по обе стороны от неё.

σmax = ymax,

.

Условие прочности при изгибе:


σmax = Ј [σ]

(7.7)

WX / .


7.5 Касательные напряжения при поперечном изгибе


       Для определения касательных напряжений воспользуемся формулой Журавского:

τ = ,

,                                          (7.8)

где QY - поперечная сила в рассматриваемом поперечном сечении;

IX - момент инерции всего поперечного сечения относительно нейтральной оси;

S1x статический момент (относительно нейтральной оси) отсеченной части поперечного сечения;

by ширина поперечного сечения балки на том уровне, на котором определяются касательные напряжения (рис. 7.7).

Рис. 7.7 - Величины, входящие в формулу Журавского

S1X = F1 yC1

.                                  (7.9)


       Для прямоугольного сечения касательные напряжения изменяются по параболическому закону по высоте сечения (7.8). При этом

τmax = .

Рис. 7.8 - Касательные напряжения в прямоугольном сечении


       Рассмотрим эпюры нормальных и касательных напряжений для двутаврового сечения (рис. 7.9)




Рис. 7.9 - Эпюры напряжений для двутаврового сечения

В т. К - плоское напряженное состояние. Максимальные и минимальные (главные) нормальные напряжения можно определить по формуле:


=

.            (7.10)


7.6 Потенциальная энергия при изгибе

       Полная потенциальная энергия деформации изгиба, накапливающаяся в балке на участке длиной l, определяется по формуле:

Ui = ,

η - коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений по высоте сечений.

       В том случае, когда балка имеет несколько участков, различающихся законом изменения жесткостей поперечных сечений, изгибающих моментов и поперечных сил, потенциальную энергию деформации следует определять по формуле

U = ΣUi = Σ,                        (7.11)

где i порядковый номер участка балки.


7.7 Деформации балки


       Под действием внешних сил, расположенных в одной из главных плоскостей прямой балки, ее ось искривляется в той же плоскости, при этом точки оси перемещаются.

       Изогнутая ось балки называется  упругой линией, а перемещение точек оси балки по нормали к ее недеформированной оси называется
прогибом балки (y) (рис. 7.10)

Рис. 7.10 - Деформации при изгибе:

yA - прогиб балки в точке А;

θA - угол поворота сечения в точке А.


Угол поворота сечения в какой-либо точке балки - это угол между касательной, проведенной к упругой линии балки в данной точке и осью недеформированной балки.

Из формулы

определим

,

где ρ - радиус кривизны упругой линии.

       Из курса высшей математики известна зависимость между радиусом кривизны плоской кривой и координатами y, z ее точек:

.


Тогда

.

       Первая производная представляет собой тангенс угла θ между осью z и касательной к упругой линии.

,

tgθ << 1,

.

Приближенное  дифференциальное уравнение упругой линии балки имеет вид

.                                    (7.12)


       Интегрируя (7.12), получим формулу для нахождения деформаций балки.

,

,

,

θ = .

При z = 0                θ = 0.

При z = 0                y = 0.


=

.                     (7.13)


Перемещение балки можно определить методом непосредственного интегрирования уравнения (7.13):

y = Z+D.                           (7.14)



7.8 Метод начальных параметров



       При определении перемещений методом непосредственного интегрирования необходимо для каждого участка балки составить выражения изгибающих моментов и производить интегрирование основного дифференциального уравнения упругой линии балки. Поэтому при двух или большем числе участков балки применение изложенного метода становится затруднительным.

       Рассмотрим определение линейных и угловых перемещений при изгибе балки постоянного сечения методом начальных параметров. Этот метод не требует составления выражений изгибающих моментов и интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки. Число постоянных интегрирования, подлежащих определению, не превышает двух, независимо от числа участков балки.

       Рассмотрим балку длиной l, находящуюся в равновесии под действием приложенных к ней нагрузок и опорных реакций (рис. 7.11).

       За начало координат принимают крайнее левое сечение балки. Координату сечения, в котором определяют прогиб y и угол поворота θ обозначают z.

       В уравнение включаются только те нагрузки, которые находятся левее рассматриваемого сечения.

Рис. 7.11 - Метод начальных параметров:

а расстояние от начала координат до точки приложения нагрузки;

U расстояние от точки приложения нагрузки до рассматриваемого сечения.


       Определим величину изгибающего момента от действия внешних нагрузок для рассматриваемого сечения:

MX = P1Ui + P2Ui + M + q = ΣMi + ΣPiUi + Σqi,

Ui = z - ai,

dUi = dz.

Подставим выражение изгибающего момента в дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

EIX = ΣMi + ΣPiUi + Σqi,

EIX = ΣMi + ΣPiUi + Σqi,

EIXθ = ΣMiUi + ΣPi+ Σqi + C,

C - постоянная интегрирования.

       Из начальных условий найдем постоянную интегрирования.

При z = 0                θ = θ0,

Для z = 0                U = 0.

EIXθ0 = C.

       Угол поворота сечения определяют методом начальных параметров по формуле:

EIXθ = EIXθ0 + + ΣPi + Σqi

,          (7.15)

EIXy = EIXθ0z + + ΣPi + Σqi + D,

D - постоянная интегрирования.

При z = 0                y = y0,

D = EIXy0.

       Величину прогиба балки определяют по формуле:


EIXy = EIXy0 + EIXθ0z + + ΣPi + Σqi

,          (7.16)


θ0 и y0 угол поворота и прогиб сечения на левом конце балки (в начале координат).




Тема 8: ГИПОТЕЗЫ ПРОЧНОСТИ


Вопросы

8.1 Основные положения

8.2 Гипотеза наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности).

8.3 Гипотеза наибольших относительных деформаций (вторая теория прочности).

8.4 Гипотеза наибольших касательных напряжений (третья теория прочности).

8.5 Гипотеза, учитывающая удельную потенциальную энергию изменения формы (четвертая теория прочности).

8.6 Гипотеза прочности Мора.

8.1 Основные положения

Гипотезы прочности предназначены для оценки прочности материала при любых видах напряженного состояния по результатам испытаний при одноосном растяжении или сжатии. Таким образом, результаты испытаний на одноосное растяжение и сжатие становятся как бы эталоном прочности, с помощью которого устанавливается прочность материала в любом случае напряженного состояния.

Расчеты по различным теориям прочности часто дают противоречивые результаты, не соответствующие также и опытным данным. Поэтому в каждом частном случае следует выполнять расчет по той теории прочности, которая является более достоверной (наиболее хорошо согласующейся с результатами экспериментов) для данного материала и того типа напряженного состояния, которое имеется в опасной точке. Точку тела, в окрестности которой при пропорциональном возрастании нагрузки материал первым оказывается в опасном состоянии, называют опасной точкой. Опасное состояние характеризуется наступлением текучести, сопровождаемой значительными остаточными деформациями или появлением трещин, свидетельствующих о начале разрушения.

В расчетных формулах, соответствующих различным теориям прочности, напряженное состояние материала выражается через значения главных напряжений σ1, σ2 и σ3, где  σ1σ2σ3. При этом растягивающие напряжения считаются положительными, а сжимающие - отрицательными.



8.2 Гипотеза наибольших нормальных напряжений

(первая теория прочности)

       Разрушение материала происходит в результате отрыва, и поэтому опасное состояние наступает, когда наибольшее растягивающее напряжение достигает опасного значения. В соответствии с этим при расчетах на прочность ограничивается значение наибольших растягивающих напряжений, которое не должно превышать допускаемого нормального напряжения, устанавливаемого из опыта на одноосное растяжение.

       Для пластичных материалов (допускаемые напряжения для растяжения и сжатия одинаковы) условие прочности по первой теории прочности имеет вид:


σ1 [σ].                                        (8.1)


       Для хрупких материалов (допускаемые напряжения на растяжение и сжатие различны) условие прочности выражается в виде:


σmaxраст Ј [σ]раст,

                                                       (8.2)

σmaxсж Ј [σ]сж.                                        


       Формулы (8.1) и (8.2) не учитывают влияния главных напряжений σ2 и σ3 на прочность материала, хотя, как показывают опытные данные, влияние их на прочность материала весьма существенно. Этот недостаток первой теории прочности устраняется во второй теории прочности, которая также основана на предположении, что разрушение материала происходит в результате отрыва.



8.3 Гипотеза наибольших относительных деформаций

(вторая теория прочности)

       Опасное состояние материала наступает в результате того, что наибольшее относительное удлинение достигает опасного значения. В соответствии с этим при расчетах на прочность ограничивается величина наибольшего относительного удлинения, которая не должна превышать допускаемого значения [ε], устанавливаемого опытным путем при одноосном растяжении.

       Для пластичных материалов условие прочности по второй теории прочности имеет вид:

εmax Ј [ε],                                            (8.3)

[ε] = ,

εmax = 1 - μ(σ2 + σ3)],                           (8.4)

σ1 - μ(σ2 + σ3) Ј [σ]

.                                (8.5)


       Для хрупких материалов условие прочности выражается в виде:


σ1 - μ(σ2 + σ3) Ј Р]

.                                  (8.6)



8.4 Гипотеза наибольших касательных напряжений

(третья теория прочности)


       Разрушение материала происходит в результате среза, и поэтому опасное состояние материала наступает, когда наибольшие касательные напряжения в нем достигают опасного значения. В соответствии с этим при расчетах на прочность ограничивается значение наибольшего касательного напряжения, которое не должно превышать допускаемого значения, устанавливаемого опытным путем для одноосного напряженного состояния.

       Условие прочности по третьей теории прочности имеет вид:


τmax Ј [τ],                                           (8.7)

[τ] = ,


τmax = ,                                   (8.8)

σ1 - σ3 Ј [σ]

.                                        (8.9)


       Недостатком третьей теории является то, что она не учитывает промежуточного главного напряжения σ2, значение которого, как показывают опыты, влияет на прочность материала.  Расхождение результатов теоретических расчетов и опытных данных из-за не учета величины σ2 не превышает 15%.

       Третья теория прочности широко используется при расчетах конструкций из пластичных материалов. Для хрупких материалов эта теория прочности неприменима.


8.5 Гипотеза, учитывающая удельную потенциальную

энергию изменения формы (четвертая теория прочности)

       Опасное состояние материала наступает, когда удельная потенциальная энергия изменения формы достигает опасного значения, определяемого опытным путем для одноосного напряженного состояния. Эта теория прочности используется только для пластичных материалов. Четвертая теория прочности широко используется при расчетах конструкций из пластичных материалов. Результаты расчета близки результатам расчета по третьей теории прочности. Для хрупких материалов она неприменима.

       Условие прочности по энергетической (четвертой) теории прочности имеет вид:

Uфmax Ј [Uф],                                           (8.10)


Ј [σ]

.    (8.11)


       Достоинством энергетической теории является то, что она учитывает все три главные напряжения.

8.6 Гипотеза прочности Мора

       Для анализа прочности материала при двухосном напряженном состоянии удобно характеризовать графически кругами Мора. Если для какого-либо материала имеются данные о его опасных состояниях при нескольких различных соотношениях между напряжениями σ1 и σ3, то, изображая каждое опасное напряженное состояние при помощи круга Мора, получаем некоторое семейство таких кругов (рис. 8.1). Если к этому семейству кругов провести огибающую, то круги, характеризующие допускаемое состояние материала, будут располагаться внутри огибающей, а характеризующие опасное состояние касаться её.









Рис. 8.1 - Теория прочности Мора

Если круг Мора пересекает огибающую кругов, то материал разрушится, если касается огибающей - то это опасное состояние материала, если внутри огибающей - допускаемое состояние материала.

Уменьшив эти круги в n раз (где n - коэффициент запаса прочности) и сохранив масштаб для напряжений, можно получить круги и огибающую, соответствующие допускаемым напряженным состояниям.

Условие прочности имеет вид:


Ј [σ]

.                            (8.12)


Теория прочности Мора широко используется при расчетах конструкций из хрупких материалов. Для пластичных материалов допускаемые напряжения Р] и СЖ] на одноосное растяжение и сжатие одинаковы, и теория прочности Мора совпадает с третьей теорией прочности. Недостатком теории прочности Мора является пренебрежение влиянием промежуточного главного напряжения σ2.